錢包悖論：一個比賽怎麼會對雙方都有利呢？

錢包悖論又稱錢包遊戲，是概率論中的一個悖論。

有A和B兩人進行一場賭博。賭法是：由第三者計算A、B二君錢包裡面的錢，錢少者可以贏走錢多者的錢。

A對於這場賭博的想法為：若B君的錢比我少，我可能輸掉我現有的錢。但若B君的錢比我多，我贏了，就會得到多於我現有的錢。我能夠贏的錢比輸的錢多，所以這場賭博對我有利。而B的想法也是如此。

二人想法的邏輯都正確，但若認為二人的想法都正確，又將做出這場賭博對A、B二人都有利的錯誤結論。這顯然是一個悖論。

最常見的就是在賭博時，期待“如果贏的話、會贏得比輸得更多”。例如玩吃角子老虎機時認為“就算只中櫻桃，也是翻五倍！”但問題在於：會中嗎？

其實，錢包悖論源自法國數學家莫里斯·克萊特契克，在他的《數學消遣》書中賭的是領帶而非錢。

“有兩個人都聲稱他的領帶好一些。他們叫來了第三個人，讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領帶給敗者作為安慰。兩個爭執者都這樣想：我知道我的領帶值多少。我也許會失去它，可是我也可能贏得一條更好的領帶，所以這種比賽是對我有利。一個比賽怎麼會對雙方都有利呢？”

錢包悖論的分析

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克萊特契克的分析

克萊特契克在他的書中指明必須限制條件，這才是一場公平的遊戲，例如A，B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。

他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量（比如說一百元）的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣，就可看出這個此賽是“對稱的”，不會偏向任何一方。但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裡。

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考慮勝算

其實問題就在A、B二人只以“可以贏更多的錢”這點，就做出這場賭博對自己有利的結論，當然是錯誤的。顯然是缺乏思考，對客觀事物的複雜程度缺乏認識，才會做出如此樂觀的結論。

這場賭博對誰有利的考慮誰可以贏得這場賭博。而不是以“可以贏更多的錢”來判斷。

若以誰有勝算來判斷，必須注意二點：

1、必須計算期望值。

2、“錢包裡有多少錢”是很隨機的。無法有一定的標準。難以論定這場賭博的勝負，但若將“所有人類的錢包裡的錢”相加後除以全人類數目，還是可以得出一個平均值。

若錢包裡的錢比平均值小，那勝算比較大，反之較小。各國家，各地區人的錢包裡的平均值都不一樣，全人類太廣泛，以國家，地區來分更加有勝算。

但就算是費很大力氣來得到這平均值，還是很難確定有勝算的。由此可見A，B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易，缺乏思考。

其實最有勝算的方法是知道對方的錢包裡有多少錢。

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另一種分析

錢包只有二個，所以錢包裡的錢只存在二個數：X,Y，設X>Y。

A有1/2機會是X，1/2機會是Y；B也如是。

如果A的錢是Y，則贏得X；如果A的錢是X，則輸掉X；B也如是。

結論：1/2機會贏，1/2機會輸。

而A,B想法的問題出在，他們假設了3個數：

設A有X元，B有Y,(Y<X)或Z,(Z>X)。

但實際上只存在2個數，所以這是錯誤的論證，推理出錯誤的結論。